流体力学是一门既古老又充满研究活力的学科。它既具有基础科学的性质，又有很强的应用性，大到万吨级排水量巨型船舶和水利工程中的汽轮机组设计，小到微纳尺度芯片传热分析、生物医药仿真等领域，以及对污染物迁移，风沙泥石流运动的预测，都离不开流体力学的研究与应用。上世纪60年代开始，伴随着计算机技术的发展，应用计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）进行流动仿真成为了研究流体问题的主要工具之一。然而，面对现实情况下的高保真流动仿真需求，数值求解Navier-Stokes方程、格子Boltzmann方程、离散速度Boltzmann方程等复杂控制方程对计算机提出了日益增长的算力要求。

量子计算机的算力与量子比特数呈指数关系增长，因此实现一定量子比特数目可以构建充分的算力，对于大规模科学计算领域具有应用前景。近年来，学界对量子计算在数值计算领域的研究逐渐得到关注；可以看到，相关的论文数在稳步增长，并且有进一步增长的潜力。

图 谷歌学术中搜索同时包含quantum computing和PDE的每年研究论文数目

关于量子计算用于科学计算的探索，可以从HHL量子算法说起。麻省理工学院S. Lloyd教授及团队于2009年最早提出现称为HHL算法的线性方程求解量子算法。该团队近年来进一步提出了求解非线性微分方程的量子算法，以及量子微分方程求解的输出如何作为量子数据处理和机器学习的输入、缓解量子微分方程求解中后处理困难的问题。不过，HHL以及系列改进算法的内核都是基于量子傅里叶变换，需要指数级的量子线路资源，因此在当前NISQ时代有一定局限性。

2020年，马里兰大学F. Gaitan教授提出了将量子幅值估计算法用于求解流体问题常用控制方程的技术方案，在流体力学领域引起了较大的关注。对建立在一维、无粘、稳态等众多假设下的Laval喷管算例进行了验证计算。进一步地，该团队将求解偏微分方程的量子算法应用于Burgers方程的数值求解，开发了量子计算流体力学（Q-CFD）求解器，对一维条件下的光滑流动和含激波的非稳态流动进行了量子计算求解，计算结果与经典CFD求解器误差相当。同样地，量子幅值估计算法通常需要依赖复杂的量子傅里叶变换，因此，对于推广至与多维、粘性、非稳态的强非线性Navier-Stokes方程等一般流动问题还存在挑战。

图 无粘性可压缩气流通过de Laval喷嘴

近年来，剑桥量子计算公司M. Lubasch博士团队将变分量子算法应用于求解非线性偏微分方程。新加坡科技研究局W. -B. Ewe博士团队将变分量子算法用于含源项的扩散方程求解，并尝试求解经典粘流算例：顶盖驱动方腔流，不过演示的8×8网格相对较少，还不足以获得收敛的结果。即便如此，这些运用变分量子计算的早期尝试，为数值方程求解以及CFD应用打开了新的思路。变分量子线路其线路深度相对较浅，是NISQ时代可行性较高的量子计算方法。

因此，新加坡国立大学与上海交通大学的研究学者运用变分量子计算对于计算流体力学做出进一步的开拓。构建变分量子线性求解器（VQLS），通过拉普拉斯算子的有限元差分离散化求解热传导方程。

图 变分量子线性求解器（VQLS）框架

图 变分量子算法求解线性方程组

进一步地，实现了一维热传导问题、以及16×16网格上对二维热传导问题的变分量子算法模拟，得到与经典CFD计算一致的等温线图。

图 变分量子算法用于求解热传导问题。左、右图分别为一维、二维热传导方程的求解结果

图 变分量子算法用于二维热传导问题求解，左、右图分别为经典CFD和变分量子算法VQLS求解所得二维热传导等温线图

文章第一作者刘阳阳博士指出，基于变分量子线性求解器计算热传导问题，时间复杂性与精度ε呈对数关系，并且线性依赖于量子比特的数量 n，因此具有较好的可扩展性。

作为该文章第二作者的陈臻副教授进一步指出，计算流体力学是一门与计算机发展紧密相关的学科，从集成电路到GPU再到量子计算，计算科学的发展应用赋能计算流体力学是学科发展的必然过程。目前量子计算还处在有噪声中等尺寸的发展阶段，通过变分量子计算，实现了量子计算求解网格数目的增加以及算例的拓展。但是，目前的这些工作，计算规模相对于真实流体问题仍然较小，计算的问题非常简单，且缺少量子硬件实验验证。在芯片、增材制造、航天飞行器等广泛领域，往往涉及全流域的各种复杂计算流体力学问题。因此，将量子计算深入落地应用于大规模、多流域的流体力学应用场景中，还需要持续的探索与推进。

刘阳阳，新加坡国立大学机械工程系 博士后研究员

刘阳阳博士目前是新加坡国立大学机械工程系博士后研究员，具有丰富的算法开发经验，在Journal of Computational Physics、Physical Review E、Physics of Fluids等算法类和流体物理类高水平期刊上发表多篇文章。

陈臻，海外优青，上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院 长聘教轨副教授

陈臻目前是上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院长聘教轨副教授，长期从事计算流体力学算法和流体物理研究，出版两部关于算法的英文专著，发表第一作者或者通讯作者SCI论文21篇，谷歌学术引用超过1000次。合作完成的《非线性水波和水下爆炸高效计算方法与应用》项目获得教育部自然科学奖一等奖。于2021年入选国家海外优青。他发展的简化且稳定的格子Boltzmann方法理论（SHSLBM），相比传统方法减少近一半内存，并大幅提高数值稳定性。

论文链接：

https://arxiv.org/abs/2207.14630